Distribusi Normal Standar

Variabel Normal Standar (Z)

Untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinyu dapat dipermudah dengan bantuan distribusi normal standar yang memiliki µ = 0 dan σ = 1. Variabel random dalam distribusi normal standar kemudian diberi nama Z, dengan rumus variabel normal standar Z adalah :

Z = [(Nilai variabel random) – (rata-rata variabel random)] / deviasi standar variabel random

jika :
X = nilai variabel random
µ = rata-rata variabel random
σ = deviasi standar variabel random

maka :

Z = (X – µ) / σ

Variabel normal standar Z dapat diartikan sebagai berapa kali deviasi standar atau nilai variabel random menyimpang dari rata-ratanya.

Contoh:

Berat badan mahasiswa suatu perguruan tinggi mempunyai distribusi normal dengan rata-rata (µ) 60 dan deviasi standar (σ)10. Tentukan nilai variabel normal standar bagi mahasiswa yang memiliki besar badan 70 dan 50.

Z = (X – µ) / σ

Z = (70 – 60) / 10 = 1, dan

Z = (50 – 60) / 10 = -1

jika digambarkan hubungan keduanya, antara variabel random dan nilai Z seperti gambar di bawah ini:

Tabel standar normal

Menggambarkan luas wilayah di bawah kurva normal antara garis tegak lurus di atas rata-rata dengan setiap titik kanan rata-rata. Luas wilayah tersebut menunjukkan probabilitas dari suatu interval, sehingga luas seluruh wilayah di bawah kurva harus sama dengan satu. Karena kurva simetris, maka luas wilayah di sebelah kanan garis tegak lurus di atas rata-rata sama dengan 0,5 dan sebelah kirinya juga sama dengan 0,5.

Contoh mencari luas wilayah di bawah kurva normal.

1. antara Z = 0 dan Z = 1,2
   cari pada kolom Z nilai 1,2 dan ke kanan sampai kolom 0,00; di sel tersebut adalah nilai luas wilayah yang merupakan probabilitas bahwa Z terletak antara 0 dan 1,2 sebesar 0,3849; atau P(0 < Z < 1,2) = 0,3849
2. antara Z = 0,68 dan Z = 0
   cari pada kolom Z nilai 0,6 dan ke kanan sampai kolom 0,08; di sel tersebut adalah nilai luas wilayah yang merupakan probabilitas bahwa Z terletak antara 0 dan 0,68 sebesar 0,2517; atau P(0 < Z < 0,68) = 0,2517
3. antara Z = -0,46 dan Z = 2,21
   cari pada kolom Z nilai 0,4 dan ke kanan sampai kolom 0,06; di sel tersebut adalah nilai luas wilayah yang merupakan probabilitas bahwa Z terletak pada 0,46 sebesar 0,1772. Dan cari pada kolom Z nilai 2,2 dan ke kanan sampai kolom 0,01; di sel tersebut adalah nilai luas wilayah yang merupakan probabilitas bahwa Z terletak pada 2,21 sebesar 0,4864. Sehingga nilai luas wilayah yang merupakan probabilitas bahwa Z terletak antara -0,46 dan 2,21 sebesar 0,1772 + 0,4868 = 0,6636; atau P(-0,46 < Z < 2,21) = 0,6636
4. Z <= -0,6
   luas wilayah yang diinginkan adalah setengah (0,5) dikurangi luas wilayah antara Z = 0 dan Z = 0,6; dimana cari dulu nilai Z 0,6 yaitu 0,2257. Jadi artinya 0,5 – 0,2257 = 0,2474, sehingga P(Z <= -0,6) = 0,2474
5. Z <= -1,44 dan Z >= 2,05
   luas wilayah yang diinginkan adalah satu atau seluruhnya (1) dikurangan luas wilayah antara Z = -1,44 dan Z = 0 kemudian dikurangi lagi Z = 0 dan Z = 2,05; dimana cari dulu nilai Z -1,44 = 0,4251 dan Z 2,05 = 0,4798. Jadi artinya 1 – 0,4251 – 0,4798 = 0,00951, sehingga P(Z <= -1,44 dan Z >= 2,05) = 0,0951
6. Z <= -1 dan Z <= 1
   untuk Z <= -1 adalah 0,5 – 0,3413 = 0,1587; dan untuk Z <= 1 adalah 0,5 + 0,3413 = 0,8413; maka nilai Z <= -1 dan Z <= 1 adalah 0,8413 – 0,1587 = 0,6826, sehingga P(-1<= Z <= 1) = 0,6826
7. Z <= -2 dan Z <= 2
   untuk Z <= -2 adalah 0,5 – 0,4772 = 0,0228; dan untuk Z <= 2 adalah 0,5 + 0,4772 = 0,9772; maka nilai Z <= -2 dan Z <= 2 adalah 0,9772 – 0,0228 = 0,9544, sehingga P(-2 <= Z <= 2) = 0,9544
8. Z <= -3 dan Z <= 3
   untuk Z <= -3 adalah 0,5 – 0,4987 = 0,0013; dan untuk Z <= 3 adalah 0,5 + 0,4987 = 0,9987; maka nilai Z <= -3 dan Z <= 3 adalah 0,9987 – 0,0013 = 0,9974, sehingga P(-3 <= Z <= 3) = 0,9974

Jadi dapat disimpulkan bahwa bila distribusi frekuensi mempunyai bentuk yang normal, proporsi observasi yang berada dalam interval µ ± 1σ adalah sebanyak 68,26%, dalam interval µ ± 2σ adalah sebanyak 95,44%, dalam interval µ ± 3σ adalah sebanyak 99,74%; sehingga untuk tujuan praktis jika interval µ ± 4σ adalah sebanyak 100,00%. Selain itu dapat juga dikatakan bahwa proporsi observasi yang terletak di luar interval µ ± 3σ adalah sangat kecil.